FEM

Die Berechnung physikalischer Probleme mit komplizierten Geometrien erfordert, die zugrundeliegenden Gesetze lokal (oder mikroskopisch) zu formulieren, d.h. so, dass das Geschehen an einem Ort nur von dessen unmittelbarer Nachbarschaft abhängt. Das führt fast unvermeidlich auf partielle Differentialgleichungen. Die Bedeutung eines universellen Werkzeugs zu deren Lösung lässt sich daher kaum unterschätzen. Da mittlerweile die Rechenleistung selbst von Laptops ausreicht, um ingenieurtechnische Alltagsprobleme (z.B. Temperaturverteilung eines Bauteils, elektrisches Feld einiger Elektroden, akustische oder optische Moden, ...) auszurechnen, wäre es eigentlich Stand der Technik, dazu "einmal eben schnell" ein FEM-Programm anzuwerfen. Dass dies nicht geschieht, hängt meiner Ansicht nach an zwei Punkten:

1. Literatur
   Es gibt fast keine Literatur, die die FEM so einfach erklärt, wie sie eigentlich ist (1½ Seiten). Die Mehrheit der Bücher vollzieht entweder die historische Entwicklung nach und erklärt die FEM (mühsam) über die Strukturmechanik, oder beweist mit schwerem mathematischem Geschütz Existenz und Eindeutigkeit der Lösung.
   Empfehlenswerte Ausnahmen:
   • en.wikipedia.org: Erklärung der Methode auf 1-2 Druckseiten.
     Zusammengefasst: Die Finite-Elemente-Methode ist die Projektion der Schwachen Form einer partiellen Differentialgleichung auf einen endlichdimensionalen Funktionenraum.
   • Claes Johnson: Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method . Entstanden aus "undergraduate courses for engineering students" und für diese Zielgruppe geeignet. Statt allgemeiner Herleitungen wird an einem einfachen Beispiel sehr schnell das Prinzip erläutert und dann in weiteren Kapiteln vertieft. Formelsatz aus Vor-TeX-Zeiten, dafür sehr preiswert.
   • H. Goering, H.-G. Roos, L. Tobiska: Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger . Optisch ansprechender als Johnson, Verweise auf aktuelle Literatur und Software.
2. Software-Benutzeroberfläche
   Die bei der FEM auftretenden Gleichungssysteme lassen sich mit Standardbibliotheken der linearen Algebra lösen. Der verbleibende Code für das Aufstellen der Gleichungen und Aufruf der Bibliotheksfunktionen ist nicht allzu kompliziert, siehe z.B. 50 lines of MATLAB, dito. Viele Mathematikinstitute haben ihre eigenen Implementierungen. Nun ist es eine der Stärken der FEM, dass die Komplexität der Geometrie für die Rechnung keine Rolle spielt. Eine komplizierte Geometrie und die zugehörigen Randbedingungen komfortabel eingeben und editieren zu können ist die eigentliche Herausforderung an die Software. Gäbe es eine freie Software, die das leistete, wäre sie sicher als "FEM-Taschenrechner" ab dem zweiten Semester im Einsatz.

Bücher zur FEM für Mathematiker:

S. Brenner, R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods (2008)

Das modernste und am leichtesten lesbare der Mathematikbücher. Für die Zielgruppe "mathematics graduate students and mathematically sophisticated engineers and scientists" gut passend.

Gilbert Strang, George J. Fix: An Analysis of the Finite Element Method (1988) und Ph.G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems (1978)

Beides für Mathematiker. Wer vor der Lektüre nicht weiß, was ein Sobolev-Raum ist, sollte besser zum Buch von Brenner greifen.

FEM für Nichtmathematiker:

Johnson: Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method und H. Goering, H.-G. Roos, L. Tobiska: Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger siehe oben.

K. Eriksson, D. Estep, P. Hansbo, C. Johnson: Computational Differential Equations

Eine erweiterte (und neu gesetzte) Version des Buches von Johnson mit einem ausführlichen Teil zu Analysis und Linearer Algebra.

M. Gockenbach: Understanding and Implementing the Finite Element Method

Das Buch leistet, was der Titel sagt: die erste Hälfte bringt saubere mathematische Theorie , die zweite Hälfte die Umsetzung in Computercode (hauptsächlich MATLAB). Masterniveau. Meiner Ansicht nach das Buch für den Anwender eines FEM-Programms, der dessen Wirkungsweise verstehen möchte. Leseprobe

Lennart Edsberg: Introduction to Computation and Modeling for Differential Equations

Gut lesbar. Themen sind gewöhnliche und paritelle Differentialgleichungen und verschiedene Lösungsmethoden (u.a. FEM).

Sonstige Bücher:

N. Ottosen, H. Petersson: Introduction to the finite element method

J.N. Reddy: An Introduction to the Finite Element Method (gebunden), (Paperback),

J.N. Reddy: An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis

J.T. Oden, J.N. Reddy: An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements

Spezielle Themen:

João P.A. Bastos, Electromagnetic modeling by finite element methods

Begutachtete, aber als wenig hilfreif empfundene Bücher:

O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, J.Z. Zhu: Finite Element Method: Its Basis And Fundamentals

D.S. Burnett: Finite Element Analysis

nicht mehr im Buchhandel, sehr weitschweifig und dadurch unübersichtlich

Nachfolgende Bücher basieren auf Strukturmechanik und sind für Physiker schlecht lesbar:

R.D. Cook, D.S. Malkus: Concepts and Applications of Finite Element Analysis

Günther Müller, Clemens Groth: FEM für Praktiker

Mayr, Thalhofer: Numerische Lösungsverfahren in der Praxis

K. Knothe, H. Wessels: Finite Elemente

MATLAB

Bücher zu MATLAB:

Wolf Dieter Pietruszka: MATLAB und Simulink in der Ingenieurpraxis

Sehr gute Einführung