Schwingungen und Wellen

SW 2.6 Wellenwanne mit stroboskopischer Beleuchtung - Versuchsbeschreibungen

  3.12 Dispersion von Wasseroberflächenwellen

Aufgabe

- Messung der Wellenlänge λ als Funktion der Erregerfrequenz f
- Bestimmung der Phasengeschwindigkeit v = λ • f bei verschiedenen Wellenlängen.
- Graphische Darstellung von v als Funktion von λ.

Beschreibung

Als rücktreibende Kräfte wirken bei Wasseroberflächenwellen auf die kreisenden Teilchen Gewichtskraft und Oberflächenspannung.

Für lange Wellen überwiegt die Gewichtskraft (Schwerewellen). Für ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit v erhält man:

     (1)

Da v mit zunehmendem λ steigt, spricht man von normaler Dispersion.

Die Oberflächenspannung überwiegt für Wellen, deren Wellenlänge weniger als 1 cm beträgt (Kapillar-Wellen). Neben der Oberflächenspannung σ hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit v_k der Kapillar-Wellen von der Dichte ρ und der Wellenlänge λ ab.

     (2)

Da v_k mit abnehmender Wellenlänge λ steigt, spricht man von anomaler Dispersion.

Im übergangsbereich wirken Gewichtskraft und Oberflächenspannung rücktreibend (Kapillar-Schwere-Wellen). Als Ausbreitungsgeschwindigkeit erhält man in diesem Wellenlängenbereich:

     (3)

Für die Grenzfälle sehr langer bzw. sehr kurzer Wellen geht Beziehung (3) in die Ausdrücke (1) bzw. (2) über.

An der Stelle, an der die beiden Oispersionskurven v_k(λ) und v_s(λ) ineinander übergehen, bei v_s = v_k, gehen Kapillarwellen in Schwerewellen über. Die zugehörige Wellenlänge λ_s,k erhält man aus:



als



Mit σ = 0,07 Nm^-1, g = 9,81 ms^-2 und ρ = 10^-3 kgm^-3 erhält man:

λ_s,k = 0,0167 m

Die zugehörige Ausbreitungsgeschwindigkeit v_s,k erhält man aus (3). Sie ist die minimale Phasengeschwindigkeit, die für Wasseroberflächenwellen bei bestimmter Oberflächenspannung vorkommen kann:

v_s,k min = 0,23 ms^-1

Bei λ_s,k geht die abfallende Dispersionskurve in die steigende Dispersionskurve v_s(λ) über.

Geräte

Wellenwanne mit

1 Erreger für Kreiswellen (27)
1 Lineal
1 Digitalzähler
1 STE-Fotoelement BPY 47
1 Messkabel BNC/4 mm
1 Stativfuß
1 Stativlochstab
2 Stecker mit Längs- und Querbuchse
1 Stativstange 47 cm
1 Stativstange 25 cm
1 Leybold-Muffe
Spülmittel
zusätzlich: Klebeband
empfehlenswert: Fotoapparat SW-Film (z.B. HP5 Ilford)
Stativ

Aufbau Fotoelement mit den Steckern in den Stativlochstab stecken und so am Stativmaterial befestigen, dass das Fotoelement in den Strahlengang des Stroboskops gebracht werden kann. Kathode des Fotoelementes mit Masse des Digitalzählers verbinden. Einstellungen am Digitalzähler: (a) Messbereichsschalter: Messbereich Hz; 10 s (b) Eingangsempfindlichkeitsschalter: > 0,1 Vss (c) Potentiometer für Anzeigedauer: Mittelstellung Mit Erreger für Kreiswellen bei einer Wassertiefe von ca. 1 cm Kreiswellen der Frequenz von ca. 10 Hz anregen. Lineal in radialer Richtung an Beobachtungsschirm anbringen, Nullpunkt nahe am Erregerzentrum.

Abb. 1: Versuchsaufbau

Durchführung

Für alle Frequenzen Synchronisation zwischen Erreger und Stroboskop mit der Feineinstellung (18) sorgfältig vornehmen. Dazu Feineinstellung nur in kleinen Schritten verändern und nach jeder Veränderung einen Moment abwarten.

Frequenz von niedrigstem Wert ausgehend in Schritten von 2 Hz bis 5 Hz erhöhen. Für jede Frequenz erforderlichenfalls Amplitude der Kreiswellen nachstellen und Synchronisation vornehmen.

Frequenz und zugehörige Wellenlänge im Messprotokoll aufnehmen. Die Wellenlänge λ über mindestens 2 Bildwellenlängen λ_B bestimmen.

Hinweis

Zur Erleichterung der Messungen ist eine fotografische Auswertung sinnvoll. Für jede Frequenz von festem Aufnahmeort (Stativ) ein Foto aufnehmen und nach sorgfältiger Synchronisation die Erregerfrequenz bestimmen.

Messbeispiel fotografische Auswertung, Wassertiefe h ≈ 1,2 cm, Wasser mit wenig Spülmittel Abb. 2: Fotoserie aus der fotografischen Auswertung Hinweis vtheor wurde mit σ = 0,07 Nm-1 berechnet. Die Meßwerte hängen empfindlich von der Oberflächenspannung ab. Je nach der Menge des verwendeten Spülmittels treten daher andere Meßwerte auf.

σH2O = 0,07 Nm-1   (vtheor nach) f in s-1 λB in cm λ = λB/1,69 in cm v = λ f in cm s-1 (2) in cm s-1 (3) in cm s-1 Foto 11,27 4,02 2,38 26,8   23,6 a 13,54 3 1,78 24,1   22,9   16,6 2,45 1,45 24,1   23,0 b 20,6 1,93 1,14 23,5   23,74 c 24,3 1,61 0,95 23,1   24,7 d 29,6 1,4 0,83 24,5 23,0   e 35,5 1,21 0,72 25,4 24,7   f 40,8 1,07 0,63 25,9 26,4   g 47,6 0,97 0,57 27,1 27,7   h 57,2 0,83 0,49 28 30     67,4 0,74 0,44 29,5 31,6     75,8 0,69 0,41 30,9 32,7     82,1 0,64 0,38 31,1 34,0     Abb. 3: Phasengeschwindigkeit als Funktion von λ : v = f(λ)

Ergebnis und Auswertung

Die Phasengeschwindigkeit von Wasserwellen hängt von der Wellenlänge ab. Für Kapillarwellen (λ < 1 cm) steigt die Phasengeschwindigkeit mit abnehmender Wellenlänge (anomale Dispersion).

Die minimal auftretende Phasengeschwindigkeit liegt im Bereich von 22 - 24 cm s^-1 und tritt bei einer Wellenlänge zwischen λ = 1 cm und λ = 1,5 cm auf.

Für Wellenlängen größer als 1,5 cm deutet sich das Gebiet der normalen Dispersion an.

Der von der Theorie beschriebene Übergang von anomaler nach normaler Dispersion und das Auftreten einer Wellenlänge &la,mbda;_min. für die die Phasenqeschwindigkeit minimal wird, können beobachtet werden. Die Beträge von &la,mbda;_min und v_min stimmen recht gut mit den theoretischen Werten überein.

Hinweise

1.		Die Meßergebnisse hängen empfindlich von derOberflächenspannung und auch von der Wassertiefe ab (z.B. Größe der Wellenlänge, für die die Phasengeschwindigkeit minimal wird; Betrag der minimalen Geschwindigkeit). Im einzelnen können daher von o.a. Beispiel abweichende Messergebnisse auftreten.
2.		Der Verlauf der Kurve v(λ) ändert sich mit der Wasserstiefe. Insbesondere wird der Anstieg der Kurve für λ > λmin größer mit zunehmender Wassertiefe.
3.		Bei Kapillar-Schwerewellen liefert dieTheorie den Zusammenhang     (4) (vgl. Versuch 3.6) h : Wassertiefe Die Versuchsbedingungen sind so gewählt, dass (4) mit hinreichender Genauigkeit durch (3) ersetzt werden kann (h > 0.5λ).

Literatur:
R.W. Pohl - Mechanik, Akustik und Wärmelehre Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York
Gerthsen-Kneser-Vogel: Physik - Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York 1977